$\arg(-1 + i\sqrt{3})$ এর আর্গুমেন্ট, (The argument of$-1 + i\sqrt{3}$is)

$\arg(-1 + i\sqrt{3})$ এর আর্গুমেন্ট, (The argument of$-1...

Detailed Explanation

<html lang="bn"> <head> <meta charset="UTF-8"> <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"> <title>Argument of a Complex Number</title> <script src="https://polyfill.io/v3/polyfill.min.js?features=es6"></script> <script id="MathJax-script" async src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"> </script> </head> <body> <h1>শিরোনাম: $\arg(-1 + i\sqrt{3})$ এর আর্গুমেন্ট</h1>

প্রশ্নটি হল, $-1 + i\sqrt{3}$ এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় করা। এই প্রশ্নের সঠিক উত্তরটি হল $\frac{2\pi}{3}$. নিচে এর বিস্তারিত বিশ্লেষণ প্রদত্ত হল।

<h2>কমপ্লেক্স নাম্বারের আর্গুমেন্ট কী?</h2>

একটি কমপ্লেক্স নাম্বার $z = a + ib$ এর আর্গুমেন্ট হল $\theta$, যে কোণটি কমপ্লেক্স পাড়ের সাথে হরাইজন্টাল অক্ষের মধ্যে হয়। এটি পোলার ফর্মে $(r,\theta)$ হিসেবে লেখা হয়, যেখানে $r$ হল নাম্বারের অভিঘাত এবং $\theta$ হল আর্গুমেন্ট।

<h2>আর্গুমেন্ট নির্ণয়ের সূত্র</h2>

কোনও কমপ্লেক্স নাম্বারের আর্গুমেন্ট নির্ণয় করার জন্য সাধারণত উদ্ভাসিত সূত্রগুলি হল:

যদি $ \Re{z} > 0$: $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\Im{z}}{\Re{z}}\right)$
যদি $ \Re{z} < 0$ এবং $\Im{z} \geq 0$: $\theta = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{\Im{z}}{\Re{z}}\right)$
যদি $ \Re{z} < 0$ এবং $\Im{z} < 0$: $\theta = -\pi + \tan^{-1}\left(\frac{\Im{z}}{\Re{z}}\right)$
যদি $ \Re{z} = 0$ এবং $\Im{z} > 0$: $\theta = \frac{\pi}{2}$
যদি $ \Re{z} = 0$ এবং $\Im{z} < 0$: $\theta = -\frac{\pi}{2}$

<h2>দেওয়া সংখ্যা: $-1 + i\sqrt{3}$</h2>

এখন আমরা $-1 + i\sqrt{3}$ এর ক্ষেত্রে এই সূত্রগুলি প্রয়োগ করবো:

এখানে, $\Re{z} = -1$ এবং $\Im{z} = \sqrt{3}$
কেননা $\Re{z} < 0$ এবং $\Im{z} > 0$, আমরা নিচের সূত্রটি ব্যবহার করবো: $\theta = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{\Im{z}}{\Re{z}}\right)$

তাহলে, $\theta = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right)$

\[ \theta = \pi + \tan^{-1}(-\sqrt{3}) \]

আমরা জানি $\tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, তাই এখানে পাই:

\[ \theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \]

<h2>উত্তর নিশ্চিতকরণ</h2>

এইভাবে, $\arg(-1 + i\sqrt{3}) = \frac{2\pi}{3}$। সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হল $\frac{2\pi}{3}$।

</body> </html>

Detailed Explanation

<h2>কমপ্লেক্স নাম্বারের আর্গুমেন্ট কী?</h2>

<h2>আর্গুমেন্ট নির্ণয়ের সূত্র</h2>

যদি $ \Re{z} > 0$: $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\Im{z}}{\Re{z}}\right)$
যদি $ \Re{z} < 0$ এবং $\Im{z} \geq 0$: $\theta = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{\Im{z}}{\Re{z}}\right)$
যদি $ \Re{z} < 0$ এবং $\Im{z} < 0$: $\theta = -\pi + \tan^{-1}\left(\frac{\Im{z}}{\Re{z}}\right)$
যদি $ \Re{z} = 0$ এবং $\Im{z} > 0$: $\theta = \frac{\pi}{2}$
যদি $ \Re{z} = 0$ এবং $\Im{z} < 0$: $\theta = -\frac{\pi}{2}$

<h2>দেওয়া সংখ্যা: $-1 + i\sqrt{3}$</h2>

এখন আমরা $-1 + i\sqrt{3}$ এর ক্ষেত্রে এই সূত্রগুলি প্রয়োগ করবো:

এখানে, $\Re{z} = -1$ এবং $\Im{z} = \sqrt{3}$
কেননা $\Re{z} < 0$ এবং $\Im{z} > 0$, আমরা নিচের সূত্রটি ব্যবহার করবো: $\theta = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{\Im{z}}{\Re{z}}\right)$

তাহলে, $\theta = \pi + \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right)$

\[ \theta = \pi + \tan^{-1}(-\sqrt{3}) \]

আমরা জানি $\tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, তাই এখানে পাই:

\[ \theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \]

<h2>উত্তর নিশ্চিতকরণ</h2>

এইভাবে, $\arg(-1 + i\sqrt{3}) = \frac{2\pi}{3}$। সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হল $\frac{2\pi}{3}$।

</body> </html>

$\arg(-1 + i\sqrt{3})$ এর আর্গুমেন্ট, (The argument of
$-1 + i\sqrt{3}$is)

Answer Options:

Detailed Explanation

Question Information

$\arg(-1 + i\sqrt{3})$ এর আর্গুমেন্ট, (The argument of
$-1 + i\sqrt{3}$is)

Answer Options:

Detailed Explanation

Question Information